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Simmetrie rotazionali del cubo
Esistono movimenti che possono portare il cubo su se stesso? Un cubo ha facce quadrate che sono a due a due parallele, ha un centro dal quale sono equidistanti i vertici e le facce e dunque ha una sfera circoscritta e una sfera inscritta. Sappiamo per esperienza che la sfera, nello spazio, si sovrappone a se stessa mediante una rotazione di un angolo qualunque intorno ad un suo diametro. Da queste osservazioni si intuisce che sicuramente esistono delle rotazioni attorno a delle rette che mandano il cubo su se stesso.
Costruiamo un cubo in cartoncino e infilziamolo con uno spiedino in modo che passi per i centri di due facce opposte. Poi ruotiamo di 90° in senso antiorario il cubo intorno allo spiedino. Che cosa osserviamo?
Il cubo ritorna su se stesso, torna cioè ad occupare la stessa posizione nello spazio. Infatti, se qualcuno lo avesse ruotato (di 90° in senso antiorario intorno allo spiedino) di nascosto, senza dircelo, noi non ce ne saremmo accorti. Però è cambiata la posizione dei vertici ma anche quella degli spigoli e delle facce. Vediamo dove sono mandati, tramite questa rotazione, i vertici indicandoli rispettivamente con una delle seguenti lettere A, B, C, D, E, F, G, H.
Il vertice A va in B, il vertice B va C, il vertice C va in D, il vertice D va in A, il vertice E va in F, il vertice F va in G, il vertice G va in H e il vertice H va in E. Una volta stabilito come cambiano i vertici possiamo ricavare gli spostamenti sia degli spigoli sia delle facce. Ma è interessante vedere gli spostamenti delle facce colorandole con colori diversi.
Che cosa notiamo? Le facce parallele all'asse ruotando si scambiano le posizioni, invece le facce perpendicolari all'asse ruotando si sovrappongono a se stesse. Se consideriamo la faccia superiore ABCD vediamo che con la rotazione tutti i punti cambiano posizione, tranne uno. Quale? Il punto che rappresenta il centro della faccia, cioè il punto unito all'asse di rotazione. E' questo l'unico punto unito del cubo in questa rotazione? No, tutti i punti che appartengono sia al cubo sia all'asse di rotazione sono uniti e quindi i punti uniti del cubo in questa rotazione sono infiniti.
E' questa l'unica rotazione intorno allo spiedino che riporta il cubo su se stesso? No, anche le rotazioni antiorarie di 180°, 270° e naturalmente di 360° riportano il cubo su se stesso. La rotazione di 360° è particolare, perchè? E' quella che porta non solo il cubo su se stesso ma anche ogni vertice su se stesso, perchè il cubo compie un giro completo. E' equivalente a una rotazione di 0°, in altre parole è come se non avessimo ruotato il cubo perchè questa rotazione non produce alcun cambiamento. Volendo fare un paragone, questa rotazione si comporta come l'1 nella moltiplicazione che non muta il risultato. Questa rotazione è indicata con il nome identità. Lo spiedino rappresenta quindi un asse di rotazione o di simmetria del cubo. Ossia la retta passante per i centri di due facce opposte del cubo è un asse di simmetria quaternaria perchè riporta il cubo su se stesso mediante 4 diverse rotazioni: 90°, 180°, 270°, 360°. Queste rotazioni sono le stesse che riportano un quadrato su se stesso quando è libero di muoversi attorno al suo centro.
Del resto se tagliamo il cubo con un piano perpendicolare all'asse otteniamo come sezione piana un quadrato e lo spiedino attraversa questo quadrato nel suo centro. Pertanto, ogni volta che il cubo ritorna su se stesso anche la sezione quadrata ritorna su se stessa.
Il cubo ha un solo asse di simmetria quaternaria? Poichè le facce sono 6, gli assi di questo tipo sono 3, uno per ogni coppia di facce opposte.
Anche per questi altri due assi la rotazione di un giro completo, 360° determina l'identità cioè la rotazione che non cambia nulla. In totale, escludendo l'identità, i movimenti che riportano il cubo su se stesso con i tre assi di simmetria quaternaria sono 9.
Infilziamo il cubo con uno spiedino in modo che passi per i vertici due spigoli opposti. Con quali rotazioni antiorarie intorno allo spiedino il cubo ritorna su se stesso? In questo caso è più difficile vedere le rotazioni nello spazio. Possiamo però immaginare di tagliare il cubo con un piano perpendicolare allo spiedino e passante per tre vertici del cubo. Come sappiamo, la sezione piana è un triangolo equilatero massimo e lo spiedino passa per il suo centro.
Ogni volta che il cubo ritorna su se stesso anche il triangolo equilatero ritorna su se stesso. Ora, è più facile capire che il triangolo ritorna su se stesso con tre diverse rotazioni: 120°, 240° e 360° (naturalmente la rotazione di 360° è quella che riporta sia il cubo sia i vertici nella posizione iniziale ed è quindi l'identità).
Consideriamo il nostro modello con lo spiedino infilzato nei vertici B e H e vediamo dove sono mandati i vertici del cubo con una rotazione antioraria di 120° intorno allo spiedino. Il vertice A va in F, il vertice B resta in B, il vertice C va in A, il vertice D va in E, il vertice E va in G, il vertice F va in C, il vertice G va in D e il vertice H resta in H. Che cosa notiamo? I due vertici B ed H appartengono sia al cubo che all'asse di simmetria e quindi non subiscono nessun cambiamento nella rotazione. Sono due punti uniti come lo sono tutti i punti della diagonale BH. Se coloriamo le facce con colori diversi, vedremo ancora delle facce che ritornano su se stesse? No, in questo caso ogni faccia cambia la propria posizione. Lo spiedino rappresenta dunque un asse di simmetria ternaria del nostro modello. Ossia la retta passante per due vertici opposti del cubo è un asse di simmetria ternaria. Quanti assi di simmetria ternaria ha il cubo? Poichè i vertici sono 8, gli assi di simmetria ternaria sono 4. In totale le simmetrie che riportano il cubo su se stesso con questi 4 assi, escludendo l'identità, sono 8, 2 per ogni asse.
Infilziamo il cubo con uno spiedino in modo che passi per i punti medi di due spigoli opposti. Con quali rotazioni antiorarie intorno allo spiedino il cubo ritorna su se stesso? Immaginiamo di tagliare il cubo con un piano perpendicolare allo spiedino e passante per le diagonali di due facce opposte. La sezione piana è un rettangolo massimo e lo spiedino passa per il suo centro.
Ora, è facile capire che il rettangolo e quindi anche il cubo ritornano su se stessi con due diverse rotazioni: 180° e 360°. Ossia la retta passante per i punti medi di due spigoli opposti del cubo è un asse di simmetria binaria. Consideriamo la rotazione antioraria di 180° intorno all'asse passante per i punti medi degli spigoli opposti AE e CG. Con questa rotazione quali elementi del cubo ritornano su se stessi? Quali punti sono uniti? Questa rotazione manda su se stesso gli spigoli AE e CG e tutti i punti comuni all'asse e al cubo sono uniti. Quanti assi di simmetria binaria ha il cubo? Poichè gli spigoli sono 12, gli assi di simmetria binaria sono 6. In totale le simmetrie che riportano il cubo su se stesso con questi 6 assi, escludendo l'identità, sono 6.
Infilziamo il cubo con uno spiedino in modo che passi per i centri di due facce adiacenti. Esiste una rotazione attorno allo spiedino, diversa dall'identità, che riporti il cubo su se stesso? No, se infilziamo il cubo con uno spiedino in una posizione diversa da quelle già viste non esistono rotazioni, diverse da quella di 360° che riportano il cubo in se stesso.
In conclusione possiamo dire che gli assi di simmetria del cubo sono di tre tipi:
assi che passano per i centri di due facce opposte (sono 3)
assi che passano per due vertici opposti (sono 4)
assi che passano per i punti medi di due spigoli opposti (sono 6)
Ecco i 13 assi di rotazione del cubo.
In totale, fissando un verso di rotazione, e considerando l'identità una sola volta i movimenti o le rotazioni che riportano il cubo su se stesso sono:
3x3 + 4x2 + 6x1 + 1 = 9 + 8 +6 + 1 = 24