Vediamo come si costruisce un tangram su un cartoncino. Si disegna un quadato e lo si divide in due triangoli rettangoli tracciando una diagonale. Poi si divide, ulteriormente, uno dei due tiangoli in due triangoli rettangoli più piccoli tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa. In questo modo si ottengono i tan 1 e 2.

Si divide in due parti l'altro triangolo rettangolo che rappresenta la metà del quadrato tracciando il segmento che unisce i punti medi dei cateti. In questo modo si ottiene il tan 3 e un tapezio isoscele.

Si divide in due parti il trapezio isoscele tracciando il segmento che congiunge il punto medio dell'ipotenusa del tan 3 con il punto medio del cateto del tan 1. In questo modo si ottiene il tan 4 e un trapezio isoscele.

Si divide il trapezio isoscele rimasto in tre parti tracciando le due altezze relative alla base. In questo modo si ottengono i tan 5, 6 e 7.

La possibilità di ottenere un cosí gran numero di figure dipende dalle particolari forme e dimensioni dei tasselli ottenuti dalla suddivisione del quadrato. Se suddividiamo il quadrato iniziale in 16 triangoli rettangoli isosceli congruenti possiamo notare che ogni singolo tassello può essere ottenuto partendo dal triangolo più piccolo.

Il quadrato, il triangolo medio e il parallelogramma si possono ottenere unendo due triangoli piccoli:

Il triangolo grande si può ottenere unenendo:

quattro triangoli piccoli, oppure due triangoli piccoli e un quadrato, oppure due triangoli piccoli e un parallelogramma, oppure due triangoli piccoli e un triangolo medio.

I lati dei sette tan hanno quindi lunghezze che possono combaciare tra loro in vari modi:

• il cateto del triangolo più piccolo può combaciare con il lato del quadrato oppure con il lato corto del parallelogramma.

• l'ipotenusa del triangolo più piccolo può combaciare con il cateto del triangolo medio oppure con il lato lungo del parallelogramma.

• il cateto del triangolo medio può combaciare con il lato lungo del parallelogramma.

• l'ipotenusa del triangolo medio può combaciare con il cateto del triangolo grande.

Se indichiamo con l la lunghezza del cateto del triangolo più piccolo le lunghezze dei lati delle tessere hanno solo quattro valori:

l; 2l; l√2; 2l√2

E come si vede due di questi valori sono il doppio degli altri due. Inoltre, gli angoli interni delle tessere sono tutti multipli degli angoli acuti dei triangoli: 45°, 90°, 135°. Si capisce quindi perchè con i sette tan si possono comporre tante figure senza buchi e perchè alcune figure possono essere ricomposte in più modi.

Il parallelogramma è l'unico tan asimmetrico e quindi non può essere portato con traslazioni e rotazioni a ricoprire la stessa regione prima e dopo il ribaltamento. Le altre tessere avendo almeno un asse di simmetria possono essere spostate sul piano senza che vi sia bisogno di sollevarle e ribaltarle. Ad esempio, se ribaltiamo il tan parallelogramma e il tan triangolo più piccolo rispetto a una retta.

Possiamo con una semplice traslazione sovrapporre perfettamente i due tan triangolo più piccolo, invece i due tan parallelogramma non sono perfettamente sovrapponibili nè con una traslazione nè con una rotazione. Con un tangram bicolore in cui ciascun tan ha una faccia colorata di nero e una faccia colorata di rosso possiamo comporre figure tutte nere o tutte rosse ribaltando tutti i tan che presentano un colore diverso dal tan parallelogramma. Invece, non sempre è possibile ottenere figure che ammettono soluzioni di entrambi i colori a causa della asimmetria del parallelogramma.

Tutte le figure del tangram sono equiscomponibili, scomponibili cioè in figure uguali e, quindi con la stessa superficie. Se si considera unitaria l'area del quadrato di partenza le aree dei singoli tan sono tutte potenze di 1/2. L'area del triangolo piccolo è 1/16, l'area del triangolo medio, del parallelogramma e del quadrato è 1/8 e l'area del triangolo grande è 1/4.