Osserviamo la figura:
Siano a, b, c rispettivamente le misure del cateto minore, cateto maggiore e dell’ipotenusa. Dal punto E (E è l'incentro del triangolo ABC ed è anche il punto medio dell'ipotenusa AB) è stato tracciato sia il segmento ET perpendicolarmente al cateto CB che il segmento EU perpendicolarmente al cateto AC. Il triangolo rettangolo ETB è simile al triangolo ABC avendo l'angolo in B in comune. Essendo EB la metà di AB si ha:
Per gli stessi motivi il triangolo AUE è simile al triangolo ABC e si ha:
Si deduce che il quadrilatero CUET è rettangolo e le misure dei sui lati sono la metà dei cateti a e b. Il triangolo EFD è rettangolo:
Possiamo ora applicare il teorema di Pitagora al triangolo EFD esprimendo i cateti e l'ipotenusa in funzione di r1.
Cioè:
Sappiamo che il raggio r della circonferenza inscritta al triangolo rettangolo ABC è legato ai lati del triangolo dalla relazione:
Possiamo allora scrivere
