Inseriamo le lettere come in figura.

Sia O il centro del semicerchio e il segmento OD è perpendicolare al lato AC e quindi parallelo al lato BC. Il triangolo AOD è quindi rettangolo e simile al triangolo ABC. Essendo l'ipotenusa AO la metà dell'ipotenusa AB il rapporto di similitudine è 1 : 2. Pertanto si ha:

Il diametro DE del cerchio di centro O" unisce i due punti di tangenza del cerchio ed è quindi perpendicolare al lato AC e allineato con il segmento OD. Possiamo allora scrivere:

• OD in funzione di R e di r:

  OD = OE - DE = R - 2r

• BC in funzione di R e di r:

  BC = 2OD = 2R - 4r

Sapendo che i segmenti di tangenza condotti da un punto esterno ad un cerchio sono uguali possiamo scrivere:

CH = GC = r;     BG = FB;     AH = AF

Con queste informazioni possiamo determinare AC in funzione di r. Infatti:

AC = AH + HC = AD + r

Essendo AD = AB - FB sostituendo si ha

AC = AH + HC = AD + r = (AB - FB) + r = 2R - FB + r

Essendo FB = BC - GC = 2R - 4r - r sostituendo si ha

AC = 2R - FB + r = 2R -(2R - 4r - r) + r = 6r

Sapendo che:

AB = 2R;     BC = 2R - 4r;     AC = 6r

Possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo ABC per ottenere la relazione tra R e r.