Osserviamo la figura:

Per determinare il raggio r della circonferenza inscritta nel triangolo AGM occorre conoscere le misure dei lati e dell'altezza ML del triangolo. Vediamo passo dopo passo come ciò è possibile conoscendo solo la misura del lato del quadrato.

Il segmento EI essendo l'altezza del triangolo equilatero ABE di lato a misura:

E quindi:

Consideriamo il triangolo DFC: il punto H per costruzione è il punto medio di DC e il segmento HE è parallelo al lato DF per cui DF è il doppio di HE (i triangoli DFC e HEC sono simili e il rapporto di similitudine è 2 : 1).

E quindi

Possiamo ora determinare la misura di un lato del triangolo equilatero FGC applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DFC.

Consideriamo il triangolo rettangolo ALM; questo triangolo ha gli angoli acuti di 60° e di 30° e quindi se indichiamo con h il cateto ML possiamo determinare l'ipotenusa e l'altro cateto in funzione di h.

Il triangolo rettangolo MLG è isoscele e quindi:

Anche il triangolo rettangolo AFG è isoscele per cui:

Ora, abbiamo tutti gli elementi per poter determinare il raggio r.

Consideriamo il triangolo BCN e la circonferenza inscritta di raggio r₁. Indichiamo con h l'altezza ON del triangolo BCN relativa al lato BC. I triangoli rettangoli CGB e ONC sono simili e quindi:

E risolvendo rispetto a CN si ottiene:

Il triangolo rettangolo BNO ha gli angoli acuti di 60° e 30° per cui:

I triangoli rettangoli CON e CDF sono simili per cui:

Ora, abbiamo tutti gli elementi per poter determinare il raggio r₁.

Che relazione c'è tra r e r₁?

Cioè:

r = 2r₁.