Un triangolo è equiscomponibile con un altro triangolo che abbia stessa base e stessa altezza.

I triangoli ABC e DEF hanno stessa base e stessa altezza e quindi sono equiscomponibili.

Vediamo un possibile procedimento per scomporre il triangolo ABC in quattro parti e di ricomporre queste parti in modo da formare il triangolo DEF.

Tracciamo il segmento GL parallelo alla base AB e passante per il punto medio dell'altezza relativa al lato AB. Dal vertice C tracciamo il segmento CI parallelo al lato FE, e dal vertice A tracciamo il segmento AH parallelo al lato DF. Il triangolo ABC risulta diviso in quattro parti: 3 triangoli e un trapezio. Queste quattro parti disposte in modo differente formano il triangolo DEF.

Un triangolo è equiscomponibile con un parallelogramma che abbia stessa base e metà altezza.

Il triangoli ABC e il parallelogramma DEFG hanno stessa base e l'altezza del parallelogramma è la metà di quella del triangolo e quindi sono equiscomponibili.

Vediamo come possiamo scomporre il triangolo ABC in tre parti e ricomporre queste parti in modo da formare il parallelogramma DEFG.

Tracciamo il segmento LM parallelo alla base AB e passante per il punto medio dell'altezza relativa al lato AB. Dal vertice C tracciamo il segmento CI parallelo al lato DG. Il triangolo ABC risulta diviso in tre parti: 2 triangoli e un trapezio. Queste tre parti disposte in modo differente formano il parallelogramma DEFG.

Un triangolo è equiscomponibile con un rettangolo che abbia stessa base e metà altezza.

Il triangoli ABC e il rettangolo DEFG hanno stessa base e l'altezza del rettangolo è la metà di quella del triangolo e quindi sono equiscomponibili.

Vediamo un possibile procedimento per scomporre il triangolo ABC in tre parti e di ricomporre queste parti in modo da formare il rettangolo DEFG.

Tracciamo il segmento HI parallelo alla base AB e passante per il punto medio dell'altezza relativa al lato AB. Dal vertice C tracciamo il segmento CJ parallelo al lato DG. Il triangolo ABC risulta diviso in tre parti: 2 triangoli e un trapezio. Queste tre parti disposte in modo differente formano il rettangolo DEFG.

Un rettangolo 3x2 è equiscomponibile con un quadrato di lato √6.

Con i teoremi di Euclide è possibile costruire un quadrato equivalente a un dato rettangolo. Ad esempio in figura il rettangolo ABCD e il quadrato EFGH hanno uguale area grazie al secondo teorema di Euclide e quindi sono equiscomponibili.

Vediamo come possiamo scomporre il rettangolo ABCD in tre parti e ricomporre queste parti in modo da formare il quadrato EFGH.

Trasliamo il rettangolo in modo che il vertice A coincida con il vertice E e tracciamo il segmento HB.

Il rettangolo viene diviso in tre parti: 2 triangoli e 1 pentagono. Queste tre parti disposte in modo differente formano il quadrato EFGH.

Un triangolo equilatero è equiscomponibile con un quadrato che ha la stessa area del triangolo.

Consideriamo un triangolo equilatero ABC e un rettangolo equivalente al triangolo che ha per base l'altezza del triangolo e per altezza la metà del lato del triangolo.

Essendo il triangolo equilatero e il rettangolo equivalenti sono anche equicomponibili come si vede in figura.

Consideriamo il quadrato HILM equivalente al rettangolo DEFG costruibile con il secondo teorema di Euclide.

Per la proprietà transitiva il quadrato e il triangolo equilatero sono equivalenti e quindi sono equicomponibili. Trasliamo il rettangolo in modo che il vertice D coincida con il vertice H e tracciamo il segmento ME e il segmento NO passante per i punti medi dei lati DG e EF.

Il rettangolo viene diviso in otto parti. Queste otto parti disposte in modo differenti formano sia il quadrato HILM che il triangolo equilatero ABC.

Le scomposizioni di poligoni equivalenti non sono uniche, ad esempio ecco due altre equiscomposizioni che permettono di passare da un triangolo equilatero a un quadrato equivalente:

Come si è visto per passare da un triangolo equilatero a un quadrato equivalente mediante una equiscomposizione abbiamo utilizzato un rettangolo che è equivalente sia al triangolo equilatero che al quadrato. In generale tutti i poligoni equivalenti si possono decomporre in un rettangolo equivalente che a sua volta può essere decomposto in un quadrato equivalente. Questo procedimento consente di quadrare un qualsiasi poligono.

Un quadrilatero è equiscomponibile con un rettangolo equivalente.

Per semplicità esaminiamo un caso particolare: il quadrilatero ABCD e il rettangolo EFGH sono equivalenti e l'altezza del rettangolo è uguale alla diagonale BD del quadrilatero.

Dividiamo il quadrilatero in due triangoli tracciando la diagonale BD e successivamente dividiamo ogni triangolo in tre parti come è stato fatto precedentemente per ottenere un rettangolo equiscomponibile da un triangolo. Disponendo in modo diverso le tre parti di ciascun triangolo otteniamo due rettangoli che hanno la stessa altezza. Unendo questi due rettangoli si ottiene il rettangolo dato equiscomponibile con il triangolo.

Un poligono di n lati è equiscomponibile con un poligono di n-1 lati equivalente.

Per semplicità esaminiamo un caso particolare: il pentagono ABCDE e il quadrilatero ABFE sono equivalenti perchè hanno in comune il quadrilatero ABCE e i due triangoli CDE e CEF hanno stessa base e stessa altezza.

Dividiamo i triangoli CDE e CEF in quattro parti come è stato fatto precedentemente per ottenere equiscomponibilità tra due triangoli con stessa base e stessa altezza.

Come si vede dalla figura il pentagono e il quadrilatero sono composti dalle stesse parti. Con lo stesso procedimento possiamo passare dal quadrilatero al triangolo equivalente e per la proprietà transitiva il triangolo cosí ottenuto è equivalente al pentagono dato. In generale ogni poligono può essere decomposto in un triangolo equivalente.

Un esagono regolare è equiscomponibile con un quadrato che ha la stessa area dell'esagono.

Consideriamo un esagono regolare e un rettangolo equivalente all'esagono perchè è equicomponibile.

Costruiamo il quadrato equivalente al rettangolo costruibile con il secondo teorema di Euclide. Per la proprietà transitiva il quadrato e l'esagono regolare sono equivalenti e quindi sono equicomponibili. Dividiamo il rettangolo in sei parti che disposte in modo differente sia il quadrato che l'esagono regolare.