Due figure piane si dicono equivalenti o equiestese quando le superficie che ricoprono hanno la stessa estensione. Distinguiamo due casi:
Stessa estensione e stessa forma.
Se due figure hanno la stessa estensione e la stessa forma allora sono sovrapponibili l'una all'altra mediante un movimento rigido, cioè mediante un movimento che non deformi le figure. In questo caso si dice che le due figure equivalenti sono anche uguali o congruenti.
Stessa estensione ma non la stessa forma.
Se due figure hanno la stessa estensione ma non hanno la stessa forma allora non sono sovrapponibili l'una all'altra mediante un movimento rigido. In questo caso si dice che le due figure equivalenti non sono congruenti.
Se una figura è suddivisa in parti che non hanno in comune punti interni allora l'area, che è la misura dell'estensione della superficie della figura, è uguale alla somma delle aree di ciascuna parte.
AreaABCD = a+b+c
Se due figure sono scomponibili in parti a due a due congruenti allora si dice che sono equiscomponibili o equicomposti. Due figure equiscomponibili sono equivalenti. Ad esempio, le due figure il trapezio e il rettangolo sono equiscomponibili e quindi equivalenti perchè sono costruiti con le stesse parti: un quadrato e due triangoli rettangoli.
In generale, figure che si ottengono per somma di parti equivalenti sono equivalenti.
Sono equicomponibili ed equivalenti le seguenti figure perchè sono suddivise nelle stesse parti; quattro triangoli rettangoli congruenti.
Dato un rettangolo possiamo immaginare di ricoprire tutta la sua estensione spostando la base del rettangolo parallelamente a se stessa lungo tutta l'altezza. Si intuisce quindi che l'area di un rettangolo è data dal prodotto della misura della base per quella dell'altezza.
Area = base ⋅ altezza
Conoscendo la formula per determinare l'area di un rettangolo vediamo come possiamo ottenere, sperimentalmente, le formule per determinare l'area di alcuni poligoni utilizzando il metodo della dissezione. Per dissezione si intende la divisione di una figura in parti che ricomposte in modo diverso formino un'altra figura equivalente a quella iniziale.
Equiscomponibilità fra parallelogramma e rettangolo.
Consideriamo un parallelogramma di cartoncino e assumiamo come base il lato più lungo. Tracciamo l'altezza che divide il parallelogramma in due parti: un triangolo e un trapezio rettangolo. Ritagliamo il triangolo rettangolo e trasliamolo in modo da ottenere un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma di partenza. Un parallelogramma è quindi equiscomponibile con un rettangolo di stessa base e stessa altezza.
Possiamo quindi, come nel caso dei rettangoli, stabilire che l'area di un parallelogramma è data dal prodotto della misura della base per quella dell'altezza.
Equiscomponibilità fra triangolo e parallelogramma.
Consideriamo un triangolo qualsiasi di cartoncino e assumiamo come base il lato più lungo. Tracciamo il segmento parallelo alla base e passante per il punto medio dell'altezza relativa alla base. Il triangolo risulta cosí diviso in un triangolo più piccolo e in un trapezio.
Ritagliamo il triangolo più piccolo e ruotiamolo di 180° in senso orario in modo da ottenere un parallelogramma avente la stessa base e metà dell'altezza del triangolo iniziale. Un triangolo è quindi equiscomponibile con un parallelogramma di stessa base e metà altezza.
Pertanto la formula dell'area del triangolo è:
Area = base ⋅ altezza : 2
Equiscomponibilità fra triangolo e rettangolo.
Per la proprietà transitiva (se una figura A è equiscomponibile con una figura B e la figura B è equiscomponibile con una figura C, allora le due figure A e C sono equiscomponibili) si intuisce che un triangolo è equiscomponibile con un rettangolo di stessa base e metà altezza. Infatti, con una semplice dissezione possiamo passare da un triangolo a un rettangolo.
Equiscomponibilità fra trapezio e triangolo.
Consideriamo un trapezio qualsiasi di cartoncino, consideriamo il punto medio di un lato obliquo e tracciamo il segmento che unisce questo punto medio con un estremo della base minore come si vede in figura.
Il trapezio risulta cosí diviso in un triangolo e in un quadrilatero. Ritagliamo il triangolo e ruotiamolo di 180° in senso orario in modo da ottenere un triangolo avente la stessa altezza del trapezio ma base pari alla somma delle lunghezze della base maggiore e minore del trapezio. Un trapezio è quindi equiscomponibile con un triangolo di stessa altezza e base uguale alla somma delle basi del trapezio.
Pertanto la formula dell'area del trapezio è:
Area = (base maggiore + base minore) ⋅ altezza : 2
Equiscomponibilità fra trapezio e parallelogramma.
Per la proprietà transitiva si intuisce che un trapezio è equiscomponibile con un parallelogramma avente base uguale alla somma delle basi del trapezio e per altezza metà altezza del trapezio.
Equiscomponibilità fra trapezio e rettangolo.
Per la proprietà transitiva si intuisce che un trapezio è equiscomponibile con un rettangolo avente base uguale alla somma delle basi del trapezio e per altezza metà altezza del trapezio.
Equiscomponibilità fra rombo e rettangolo.
Consideriamo un rombo qualsiasi in cartoncino e tracciamo l'altezza relativa alla base. Il rombo risulta cosí diviso in un triangolo rettangolo e in un trapezio rettangolo.
Ritagliamo il triangolo e trasliamolo in modo da ottenere un rettangolo avente stessa base e altezza del rombo. Un rombo è quindi equiscomponibile con un rettangolo di stessa base e altezza.
La formula dell'area del rombo è quindi:
Area = base ⋅ altezza
Esiste un'altra dissezione del rombo che è equiscomponibile con un rettangolo e che permette di determinare l'area del rombo in funzione delle due diagonali. Consideriamo un rombo qualsiasi in cartoncino e tracciamo la diagonale maggiore e la semidiagonale minore.
Il rombo risulta cosí diviso in un triangolo isoscele e due triangoli rettangoli. Ritagliamo i due triangoli rettangoli e trasliamoli in modo da ottenere un rettangolo avente per altezza la diagonale maggiore e per base la semidiagonale minore del rombo.
L'altra formula dell'area del rombo è quindi:
Area = diagonale maggiore ⋅ diagonale minore : 2
Equiscomponibilità fra un deltoide e rettangolo.
Consideriamo un deltoide qualsiasi in cartoncino e tracciamo la diagonale maggiore e la semidiagonale minore. Il deltoide risulta cosí diviso in un triangolo scaleno e in due triangoli rettangoli.
Ritagliamo i due triangoli e per ciascun triangolo rettangolo operiamo un ribaltamento e una traslazione in modo da ottenere un rettangolo avente per altezza la semidiagonale minore e per base la diagonale maggiore del deltoide.
La formula dell'area del deltoide è quindi:
Area = diagonale maggiore ⋅ diagonale minore : 2
Equiscomponibilità fra un esagono regolare e rettangolo.
Consideriamo un esagono regolare qualsiasi in cartoncino individuiamo il suo punto centrale e dividiamolo in sette triangoli; cinque triangoli equilateri e due triangoli rettangoli come in figura.
Ritagliamo i sette triangoli e ricomponiamoli in modo da formare un rettangolo avente per base il semiperimatro dell'esagono e per altezza la sua apotema.
La formula dell'area dell'esagono regolare è quindi:
Area = perimetro ⋅ apotema : 2
Equiscomponibilità fra un poligono regolare e rettangolo.
Lo stesso procedimento visto per l'esagono regolare può essere applicato a un qualsiasi poligono regolare. Si ha quindi in generale:
Ogni poligono regolare è equiscomponibile in un rettangolo avente per base il semiperimetro del poligono e per altezza la sua apotema.
La formula dell'area di un poligono regolare è qundi:Area = perimetro ⋅ apotema : 2
Due parallelogrammi equivalenti e aventi una base comune sono equiscomponibili.
Due parallelogrammi equivalenti ABCD e ABEF con la base AB in comune hanno necessariamente la stessa altezza. Tracciamo i due parallelogrammi e le due rette parallele che contengono le basi AB e i rispettivi lati opposti paralleli.
Segniamo sulla retta contenene la base AB una serie di segmenti uguali a AB e dagli estremi di questi segmenti, tracciamo due segmenti uno parallelo ad AD e l'altro parallelo ad AF.
Entrambi i parallelogrammi risultano cosí suddivisi in parti a due a due congruenti e quindi sono equiscomponibili.
Equiscomponibilità e il teorema di Pitagora.
Il più conosciuto e famoso teorema è senz'altro quello di Pitagora:
Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Esistono centinaia dimostrazioni di questo teorema e la maggior parte di queste si basano sulle dissezioni. I quadrati costruiti sui catete sono suddivisi in parti che ricomposte ricoprono perfettamente, senza sovrapposizioni, il quadrato costruito sull'ipotenusa. Ecco alcune dimostrazioni visive:
In teoria esistono infiniti modi per suddividere i quadrati costruiti sui cateti e ricomporli per ricoprire il quadrato costruito sull'ipotenusa. Ad esempio, possiamo ottenere un gran numero di queste suddivisioni e ricomposizioni sovrapponendo due tassellazioni: la prima è composta accostando i quadrati costruiti sui cateti, la seconda è composta accostando il quadrato costruito sull'ipotenusa. Ecco una possibile sovrapposizione:
Non è difficile intuire che ad ogni piccola traslazione di una delle due tassellazioni si ottiene una diversa suddivisione e ricomposizione dei quadrati.