L’insegnamento della geometria: storia e significato di un problema.
(da Didattica delle scienze e informatica nella scuola, aprile 1996, editrice La Scuola, Brescia.)

1. Il problema di Torricelli

Vincenzo Viviani (1622-1703) nel suo De Maximis et Minimis, dato alla stampa nel 1659, avvertì la necessità di inserire una appendice per dare spazio alla trattazione di due problemi che avevano attirato l’attenzione dei più noti e valorosi matematici del suo tempo; due problemi dunque che risultavano, diremmo oggi, di grande attualità.

Il primo di tali problemi era stato oggetto di una corrispondenza tra Torricelli, che Viviani definisce summus geometra e Fermat, Roberval, de Verdus che sempre Viviani reputa tra i migliori matematici della Gallia per non dire d’Europa. Ma di questo problema si era pure interessato B.Cavalieri. Da quel che dice Viviani comunque, fu Fermat a proporlo a Torricelli e questi, pure se non intravide subito la soluzione, di li a poco lo risolse per più vie e lo propose agli allievi in una forma che corrisponde alla seguente:

“Dato un triangolo ABC i cui angoli misurano ciscuno meno di 120°, trovare un punto P tale che la somma PA+PB+PC sia minima”.

Viviani risolse il problema non senza, egli dice, iterati sforzi e riesce anche a trovarne una soluzione molto elegante e comoda nella comunicazione.

La soluzione di Viviani è questa: P è il punto che “vede” o proietta i lati AB, BC, CA sotto angoli di 120°.

Nel caso del triangolo equilatero la soluzione è molto evidente. P è il baricentro del triangolo. Costruendo il triangolo simmetrico rispetto, ad esempio, al lato AB è facile verificare che PA+PB+PC = CC'.

    PA+PB+PC=CC'= l

    Nel caso più generale la costruzione è la seguente: sul lato più lungo si costruisce un triangolo equilatero e si considera la circonferenza ad esso circoscritta; l’intersezione della circonferenza con il segmento CX è il punto P cercato.
   Risulta ancora che PA+PB+PC = CX ed ha valore minimo.

APC  = APB = BPC = 120°
PA+PB+PC = CX

  Il problema risolto da Viviani non pare abbia suscitato altri interessi anche successivi e rimase nell’ombra fino a quando J. Steiner (1796-1863) non lo riscoprì per suo conto nel 1837 dandone anche una generalizzazione ritenuta però, in seguito, di scarso interesse e “una delle generalizzazioni superficiali che si incontrano spesso nella letteratura matematica”.

  Il giudizio sulla generalizzazione operata da Steiner è di R. Courant e H. Robbins che hanno avuto il merito di riformulare il problema, che impropriamente attribuiscono a Steiner, e di portarlo all’attenzione della comunità matematica in ragione del largo e meritato successo del loro “Che cos’è la matematica?”. Per trovare - scrivono Courant e Robbins - la generalizzazione del problema di Steiner che abbia un vero interesse, si deve abbandonare la ricerca di un solo punto P e proporsi invece la determinazione del reticolato di lunghezza totale. In termini matematici diremo: “Dati n punti A₁, A₂, .... , A_n, trovare un sistema connesso di segmenti, di minima lunghezza totale, tale che ogni coppia di puntipossa essere collegata con un poligono formato da segmenti del sistema”.
  L’importanza anche pratica del problema appare chiara se si riflette che i punti possono essere rappresentativi di città da collegare con una rete stradale o abbonati di una società telefonica o ancora se si tratta della progettazione di una rete di tubature o di un circuito elettronico: vi sono tutti gli interessi per realizzare reti minime che siano cioè le più corte possibili, sia tecnici, sia di funzionamento, sia ancora economici.
  Il fatto è che al crescere del numero n di punti (n si può assumere come la misura della dimensione del problema) il problema diventa intrattabile. I tempi di risoluzione crescono esponenzialmente con n: è cioè un problema NP (non deterministico in un tempo polinomiale).
  Un’idea delle difficoltà può formarsi dall’esame della situazione, particolarissima, di 4 punti disposti ai vertici di un rettangolo, dove occorrono due punti aggiuntivi, detti anche punti di Steiner

 La somma   AP+DP+PQ+QB+QC  è la lunghezza minima per congiungere i 4 punti   A, B, C, D.

o anche dall’esame del grafico seguente, rappresentativo del collegamento minimo tra 29 città degli Stati Uniti [i]

   fig. Stati Uniti

 Il problema con 29 punti è già al limite delle possibilità di elaborazioni di potenti computer.

  Sempre si è parlato di risolubilità dei problemi e l’antichità ci ha tramandato anche alcuni classici problemi irrisolubili: la duplicazione del cubo, la trisezione di un angolo, la irrisolubilità per radicali delle equazioni algebriche di grado maggiore di quattro. Ma in questa irrisolubilità v’erano interessati gli strumenti utilizzabili, ad esempio per la trisezione di un angolo il compasso e la riga non graduata e i radicali per le equazioni algebriche di grado maggiore o uguale al quinto.
  Ma se un angolo non è trisecabile con un compasso ed una riga non graduata, possiamo sempre dire: bene, usiamo il compasso e la riga graduata e per un’equazione algebrica potremmo dire: utilizziamo il metodo di Newton.
  Quindi la risolubilità o meno di un problema è vista in funzione di un metodo effettivo di calcolo, dell’esistenza cioè di un qualsiasi algoritmo di risoluzione.
  Il decimo problema di Hilbert ad esempio consiste nel fornire un metodo effettivo, ovvero un algoritmo, per stabilire se una qualsiasi equazione diofantea possiede o meno una soluzione (se cioè possiede o meno una soluzione fra tutti i numeri) . La soluzione del problema è negativa: fu dimostrato che un tale metodo effettivo non esiste. Il decimo problema di Hilbert fu risolto dal lavoro collettivo di Davis, Putnam e Robinson (1961) e Matijasevic (1970).
  Ma oltre alla risolubilità effettiva esiste però un’altra questione che interessa ed ha rilevanza pratica notevole: il tempo. Un problema può essere risolubile in linea di principio ma la sua soluzione richiedere migliaia o milioni di anni per essere computata. Un esempio immediato è l’ordinaria moltiplicazione di numeri interi positivi.
  La moltiplicazione è una operazione che è facile in un verso (calcolare il prodotto, assegnati due o più numeri) e difficile nel verso opposto. Il problema di spezzare, frantumare un numero nel prodotto dei suoi fattori primi è risolubile in linea di principio, in teoria: quasi impossibile, con riferimento alla durata della vita umana, se si tratta di un numero abbastanza grande di cento o duecento cifre.
  Tanto per dare un saggio delle difficoltà insite nel problema, provate a scomporre in fattori primi un numero “piccolo”, appena cinque cifre: 29083. Procedendo a mano ci vorrebbe un bel po' di tempo per trovare i due unici fattori primi: 127 e 229. Per verificare che si tratta dei fattori corretti, invece, è sufficiente meno di un minuto.
  Un problema la cui risposta, mediante una macchina di Turing - schema più generale per un precedimento effettivo di calcolo - richieda venti miliardi di anni è, dunque, in linea di principio, risolubile, ma va considerato insolubile ai fini pratici.
  E’ questa difficoltà o relativa impossibilità a costituire la chiave di sicurezza dei codici segreti per la protezione dell’informazione. Nessun codice è, in linea di principio, indecifrabile, ma è un codice accettabile se, anche usando i calcolatori più veloci, la “spia” impiega miliardi di anni per decrittarli. I crittografi hanno sviluppato una collezione di operazioni di codificazione, dette funzioni trappola o unidirezionali , di semplice esecuzione nella direzione in cui il messaggio viene trasformato in codice, ma che, nella direzione contraria, richiederebbero miliardi di anni per essere portate a termine, quando cioè sarebbe caduta e da tempo ogni ragione alla protezione dell’informazione. Un esempio semplice di operazione di questo tipo, lenta in una direzione e veloce nella direzione opposta (da cui il nome di trappola) è quello di prendere due o più numeri primi abbastanza grandi, per esempio composti ognuno di cento o duecento cifre e moltiplicarli tra loro. Questa operazione di moltiplicazione è molto semplice per un calcolatore; ma se si mostra alla macchina il risultato e le si chiede di trovare quei numeri primi che sono i divisori esatti del numero dato ebbene per trovarli impiegherà decisamente un lungo periodo di tempo, certo migliaia di anni ( organo di stampa della Mathesis). Ciò suggerisce che il problema della fattorizzazione è un problema NP (non deterministico in tempo polinomiale) come lo è il problema della determinazione della rete di lunghezza minima e tanti altri.
  Gli argomenti ai quali si è accennato prendendo lo spunto dall’opera di Viviani e cioè la risolubilità, la complessità computazionale, gli algoritmi e quindi la ricorsività, ecc. sono abbastanza attuali ed importanti ed esauriscono ad esempio un intero tema dei nuovi programmi di matematica previsti per il triennio della scuola secondaria superiore dal progetto Brocca.
E per quanto riguarda il discorso geometrico, cui più squisitamente attiene l’impostazione di Viviani, c’è da dire che una delle novità più rilevanti dal punto di vista pedagogico dei nuovi programmi riguarda proprio le modalità di trattazione della geometria; ad esempio il fatto di riferirsi a “limitate catene di deduzioni” ma anche al fatto che la riflessione sulla geometria si sviluppa nell’arco del quinquennio per acquisire nell’anno terminale di studi il valore di una sintesi. Ciò è nato dal fatto, confermato dall’esperienza dei docenti, che difficilmente lo studio della geometria razionale nei primi due anni della scuola superiore consente all’allievo di avere una visione di insieme della geometria, della sua organizzazione e dei suoi metodi.